Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC-CA于点G，点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0），求（1）D，F两点间的距离（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能求出t的值。若不能说明理由（3）连接PG，当PG∥AB时，直接写出满足条件的t的值

Answer 1

解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，

∵D，F是AC，BC的中点，

∴DE∥BC，EF∥AC，∴DF=1 2 AB=25

（2）能．

如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，

∵D，F是AC，BC的中点，

∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，

∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分

（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），

此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．

故t=12.5+16 4 =71 8 ．

（3）①当点P在EF上（26 7 ≤t≤5）时，

如图2，QB=4t，DE+EP=7t，

由△PQE∽△BCA，得7t-20 50 =25-4t 30 ．

∴t=421 41 ；

②当点P在FC上（5≤t≤76 7 ）时，

如图3，已知QB=4t，从而PB=5t，

由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．

解得t=71 2 ；

（4）如图4，t=12 3 ；如图5，t=739 43 ．

（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：

当0＜t≤26 7 时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，

如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤76 7 当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在76 7 ＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，

如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）．

Answer 2

大哥。图呢。难道要我自己画啊。