Question

已知函数f(x)=a^x(a>0且a≠1）在区间【-2,2】

已知函数f(x)=a^x(a>0且a≠1）在区间【-2,2】上的值域不大于2，则函数g(a)=log2^a的值域是？

Answer 1

解：
已知：f(x)=a^x，且f(x)≤2，
即：a^x≤2
log(a^x)≤log2
xloga≤log2
当0＜a＜1时：x≥(log2)/(loga)
当a＞1时：x≤(log2)/(loga)
因为：x∈[-2，2]
所以：2≥(log2)/(loga)≥-2
1、当0＜a＜1时：loga≤log(√2)≤log(1/a)
loga≤log(√2)，解得：a≤√2，考虑到0＜a＜1，有：a∈(0，1)
g(a)=log(2^a)
g(a)=alog2
0＜g(a)＜log2
log(√2)≤log(1/a)，解得：a≤√2/2，即：a∈(0，√2/2]
g(a)=log(2^a)
g(a)=alog2
0≤g(a)＜(√2/2)log2
2、当a＞1时：loga≥log(√2)≥log(1/a)
loga≥log(√2)，解得：a≥√2，此时有：a∈[√2，∞)，
g(a)=log(2^a)
g(a)=alog2
√2log2＜g(a)＜∞
log(√2)≥log(1/a)，解得：a≥√2/2，考虑到a＞1，有：a∈(1，∞)
g(a)=log(2^a)
g(a)=alog2
log2≤g(a)＜∞