Question

已知二阶非齐次线性微分方程的两个特解,应该如何求通解?

Answer 1

若求得：y" - p(x)*y' - q(x)*y = 0 的两个线性无关的特解：u(x)，v(x)，则
非齐次方程：y" - p(x)*y' - q(x)*y = f(x) 的通解公式为：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * f(s) ds.
而如果你得到的是：y" - p(x)*y' - q(x)*y = f(x) 两个线性无关的特解，则通解为：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x).
一般，对于二阶非齐次线性微分方程，都是采取先求齐次部分的两个线性无关的解，然后再求整个非齐次部分的通解. 举个例子如下：
y"-2y'-3y=3x+1 的齐次部分 y"-2y'-3y = 0 对应的特征方程为：
x^2 -2x - 3 = 0 ，解为 x = -1 或 3 ，即基本解组为：u(x) = e^(-x)，v(x) = e^(3x).
非齐次方程：y"-2y'-3y = 3x+1 = f(x) 的通解公式为：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * f(s) ds
将u(x)，v(x)，f(x) 代入上式计算得到：
y = C1 * e^(-x) + C2 * e^(3x) + 1/3 - x.
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