Question

设总体X服从n的卡方分布，X1,X2…Xn为其样本，求样本平均值X bar的数学期望和方差

Answer 1

样本均值的期望是n，方差是2/n。

设X1X2....Xn为来自总体X的样本，总体X服从参数为λ的指数分布，即X~f（x，λ）=λexp（-λx）求X（1）和X（n）

Xn为来自总体X的样本，总体X服从参数为λ的指数分布，即X~f（x，λ）=λexp（-λx）求X（1）和X（n）设X1X2....

Xn为来自总体X的样本，总体X服从参数为λ的指数分布，即X~f（x，λ）=λexp（-λx）求X（1）和X（n）的数学期望（其中X1）=min（X1X2....Xn）X（n）=max（X1X2.....Xn））

统计学意义

当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

以上内容参考：百度百科-方差

Answer 2

期望为n，方差为2。

设y1,y2...yn均是服从标准正态分布的，令x=y1^2+y2^2+...yn^2，所以x服从自由度为n的卡方分布。

又因为x的均值为1/n(x1+x2+...xn)，所以E(x均值)=1/nE(x1+x2+...xn)=E(x)=E(y1^2+y2^2+...yn^2)=nE(y^2)=n。

同理D(x的均值)=D(x1+x2+...xn)/n^2=D(x)/n又因为D(x)等于nD(y^2)，通过标准正态分布的积分运算可以求出D(y^2)=2，所以样本均值的方差为2，期望为n。

统计学意义

当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

备注

Answer 4

设y1,y2...yn均是服从标准正态分布的，令x=y1^2+y2^2+...yn^2，所以x服从自由度为n的卡方分布。又因为x的均值为1/n(x1+x2+...xn),所以E(x均值)=1/nE(x1+x2+...xn)=E(x)=E(y1^2+y2^2+...yn^2)=nE(y^2)=n.(因为y1...yn的期望为0).同理D(x的均值)=D(x1+x2+...xn)/n^2=D(x)/n又因为D(x)等于nD(y^2),通过标准正态分布的积分运算可以求出D(y^2)=2，所以样本均值的方差为2,期望为n.(说明：E(x1)=E(x2)=...E(xn)=E(x),E(x)为总体。同样E(y^2)也是代表总体因为D(y)=E(y^2)-E(y)^2)
综上：期望为n,方差为2

Answer 5

样本均值的期望是n，方差是2/n