Question

将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°<α<45°），得到正方形OA1B1C1．

设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．
（1）求证：△OC1M≌△OA1E；
（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；
（3）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，
请给予证明，并求出p的值．

Answer 1

(1)∵∠EA1O=∠MC1O=Rt∠，OA1=OC1，∠1=∠2

    ∴△OC1M≌△OA1E

(2)作OH⊥MN于H

    ∵OE=OM，∠EON=∠M0N，ON=ON，

   ∴ONM≌△ONE

     ∴∠3=∠4，又∵∠OA1N=∠OHN=Rt∠，ON=ON

    ∴OHN≌△OA1N，

  ∴OH=OA1=a

(3)∵∠OHM=∠OC1M=Rt∠，OH=OC1，OM=OM

∴OHM≌△OC1M，∴HM=C1M

p=NM+B1M+B1N

  =NH+MH+B1M+B1N

  =A1B1+B1C1

  =2a