Question

就k > 0的不同取值情况,确定方程ln x = kx正根的个数

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Answer 1

令 f(x)=lnx-kx ，显然 x>0 。
则 f '(x)=1/x-k=(1-kx)/x ，容易看出，当 x=1/k 时，f '(x)=0 ，
所以，在（0，1/k）上，f(x)为增函数，在（1/k ，+∞）上为减函数，
因此，max=f(1/k)=ln(1/k)-1=-ln(ek) ，
所以 ，当 max=0 即 k=1/e 时，方程有唯一实根 x=1/e ，
当 max<0 即 k>1/e 时，方程没有实根 ，
当 max>0 即 0<k<1/e 时，方程有两个不等实根 。