Question

导数与函数单调性的关系是什么？

Answer 1

大家普遍反映从微分中值定理和泰勒公式的相关内容开始后，我们研究的问题的难度有所增加，抽象性也比较大，反例不好找。那么今天我们做一道比较简单的判断题。
问题 如果函数在区间上可导，且在区间上是单调增加的函数，那么它的导函数在区间上是否一定也是单调增加的函数呢？
答 当然不一定！
我们知道函数的单调性与区间有关，具体地说，如果函数可导的话，与它在区间上的导函数的符号有关，而跟导函数是否单调则没有关系，这是完全不同的两类问题。
比如正弦函数和余弦函数首先满足,并且有
(1) 正弦函数在区间上单调增加，但余弦函数在不是单调函数。
(2) 正弦函数在区间上单调增加，余弦函数在上也是单调增加。
(3) 正弦函数在区间上单调增加，但余弦函数在单调减少。
单调减少的情形我们也可以近似地举出反例，请大家自行思考完成。
高等数学的课程学习中注意反例的作用，并力所能及地自行举出一些反例，是一种重要的学习方法。

Answer 2

导数正则单调递增，常负递减。

有正有负则为正的区间递增，为负的区间递减。