Question

3×1^2+2^2一直加到100的平方等于多少？

Answer 1

我们需要计算 $3\times 1^2 + 2^2 + 3\times 2^2 + 3\times 3^2 + \cdots + 3\times 100^2$ 的值。
首先，可以将 $3\times 1^2 + 2^2$ 和 $3\times 2^2$ 相加，得到 $3\times 1^2 + 2^2 + 3\times 2^2 = 3\times 5 = 15$。同样的，将 $3\times 3^2 + 3\times 4^2$ 相加，得到 $3\times 3^2 + 3\times 4^2 = 3\times (9+16) = 75$。可以发现，$3\times n^2 + 3\times (n+1)^2$ 相加的结果为 $3\times (2n^2 + 2n + 1)$。
因此，原式可以写成：
&= (3\times 1^2 + 2^2) + (3\times 3^2 + 3\times 4^2) + (3\times 5^2 + 3\times 6^2) + \cdots + (3\times 99^2 + 3\times 100^2) \\
&= 15 + 75 + 195 + \cdots + 299175 \\
&= \sum_{n=1}^{100} 3\times (2n^2 + 2n + 1) - 3 \\
&= 3\sum_{n=1}^{100} (4n^2 + 2n) - 3 \\
&= 3\left( \sum_{n=1}^{100} 4n^2 + 2\sum_{n=1}^{100} n \right) - 3 \\
&= 3\left( \frac{4\times 100\times 101\times 201}{6} + 2\times \frac{100\times 101}{2} \right) - 3 \\
&= \boxed{50514150}
\end{aligned}$$