Question

关于牛顿迭代法的收敛阶数

以下这个公开课《单变量微积分》从 5：20 到 6：00 的内容我看不懂，内容是解释牛顿法的收敛阶数为2。 大大可以用数学符号表示下视频中的教授的意思吗？为什么E2~E1^2

http://v.163.com/movie/2006/8/E/2/M6GLI5A07_M6GLN12E2.html

Answer 1

牛顿迭代法的收敛阶数

通过一定的迭代公式得到x(k+1)=g(xk)，若记ek＝|xk－x*|，其中
x*是f(x)＝0的根。ek就是度量迭代序列{xk}与真解之间的距离，ek＝0表示已经得到真解。 

f(x)满足一定的条件，则{xk}二次收敛到x*，大致上说就是
ek约为e(k－1)^2，这是一个收敛很快的方法。
因为你想，比如e1=0.1，则e2约为0.01，e3约为10^(－4)，
e4约为10^(－8)，e5约为10^(－16)，只需几步迭代就能得到解的一个有效位数大约是
16位的近似解，收敛很快的。

牛顿迭代法公式：

k=(G＋G动)/n。牛顿迭代法（Newton'smethod）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphsonmethod），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

Answer 2

这里的Newton 法是求方程f(x)=0的根的方法。
用迭代法：通过一定的迭代公式得到x(k+1)=g(xk)，若记ek＝|xk－x*|，其中
x*是f(x)＝0的根。ek就是度量迭代序列{xk}与真解之间的距离，ek＝0表示已经得到真解。
可以证明，f(x)满足一定的条件，则{xk}二次收敛到x*，大致上说就是
ek约为e(k－1)^2，这是一个收敛很快的方法。
因为你想，比如e1=0.1，则e2约为0.01，e3约为10^(－4)，
e4约为10^(－8)，e5约为10^(－16)，只需几步迭代就能得到解的一个有效位数大约是
16位的近似解，收敛很快的。
当然一般是很难做到这么快的，不过Newton法一般认为是求解非线性方程根的一个很有效的方法。

追问

你的回答总结起来就是：牛顿法一般有e（n）约为e（n-1)^2

而我的提问是：为什么有e（n）约为e（n-1)^2

视频的教授解释了为什么，但我看不懂，希望有人能用数学符号表示下教授的解释过程。

孩子。。。。。。。。

追答

x(k+1)=xk－f(xk)/f'(xk)，这是迭代公式。大致思想：
于是有f'(xk)x(k+1)=f'(xk)xk－f(xk)。
f'(xk)(x(k+1)－x*)=f'(xk)(xk－x*)－(f(xk)－f(x*))。
利用0＝f(x*)＝f(xk)+f'(xk)(x*－xk)+大O(x*－xk)^2，代入得
f'(xk)e(k+1)＝大O(ek^2)。
当n趋于无穷时，f'(xk)趋于f'(x*)。
上式大致为e(k+1)＝大O(ek^2)/f'(x*)，只要f'(x*)不为0。
因此Newton法的收敛性理论中都要有条件f'(x*)不为0。

Answer 3

收敛阶在数值分析里有具体的定义，这个内容一般在《非线性方程和方程组的数值解法》这一章里，而牛顿收敛阶为2在书中也有证明，翻翻书就能找到了。