Question

请问这道多元函数极限题目怎么解？

如题,没看懂,是设y=kx吗,但如果y是其他形式的怎么办,这么设不会很片面吗

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Answer 1

极限存在是当(x,y)沿着任何路径趋向于(0,0)时，极限都存在并且相等。所以当(x,y)沿着两条不同的路径趋向于(0,0)时，极限都存在但不相等，则极限不存在。

本题当(x,y)沿着y=x趋向于(0,0)时，极限是1/2,
当（x,y）沿着y=2x趋向于(0,0)时，极限是2/5,
2/5不等于1/2,所以极限不存在。
解答中(x,y)沿着y=kx趋向于极限是k/(1+k²），当k取两个不同的值时，k/(1+k²）不相同，就表明了当(x,y)沿着两条不同的路径趋向于(0,0)时，极限都存在但不相等，所以极限不存在。

Answer 2

见下图：

Answer 3

题主要明白，证明真命题需要考虑所有条件和情况，任意一种情况不满足，那么就证明不了，而证明假命题只需要举出其中一种不成立的条件即可
这里要证明极限不存在，可以令y=kx，k的取值有无穷多个，足以证伪

Answer 4

二元函数存在极限，需要是任意轨迹。
y=kx只是其中的一种，
既然其中的一种都不满足，那肯定是在这点不存在极限啦