Question

如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小。

如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小。
（1）求∠ADE的度数
（2）在BD上画出点P的位置，并写出作法
（3）求△PCE周长的最小值

Answer 1

(1)因为ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA，BD平分∠ABC，则∠ABD=60°，所以三角形ABD为等边三角形，所以∠ADB=60°，同理，三角形DBC也是等边三角形，又点E为BC中点，由等边三角形三线合一的性质可得∠BDE=1/2∠BDC=30°，所以∠ADE=60°+30°=90°。
（2）由菱形的对称性可知点C与点A关于BD对称，连结AE交BD于点P，此时三角形PCE的周长最小
（3）由（1）可知，∠ADE=90°，所以直角三角形ADE中，已知AD=2，AE=根号3，则PE=根号7，又CE=1，则△PCE周长的最小值为（根号7+1）