Question

1. 求下列微分方程的通解 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解

Answer 1

1.
（1）
dy/dx=xy/(1+x²)
(1/y)dy=x/(1+x²)dx
∫(1/y)dy=∫x/(1+x²)dx
lny=(1/2)ln(1+x²)+lnC=ln√(1+x²)+lnC=lnC√(1+x²)
y=C√(1+x²)
（2）
y'+y=cosx为y'+y=exp（ix）的实部解，利用算子法
（D+1）y=e^(ix)=>y=1/(D+1)*e^(ix)=>y=1/(1+i)*e^i=>y=(1-i)/2*(cosx+isinx)
即Re y=1/2*(sinx+cosx)就为原方程的解
2.
解：∵cosysinxdx-cosxsinydy=0 ==>(cosysinxdx-cosxsinydy/cos²x=0
==>-cosyd(cosx)/cos²x+d(cosy)/cosx=0
==>cosyd(1/cosx)+d(cosy)/cosx=0
==>d(cosy/cosx)=0
==>cosy/cosx=C (C是积分常数)
∴原方程的通解是cosy=Ccosx (C是积分常数)
∵当x=0时，y=π/4
∴cos(π/4)=Ccos0 ==>1/√2=C
故所求特解是 cosy=cosx/√2。