Question

如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小。

如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小。
（1）求∠ADE的度数
（2）在BD上画出点P的位置，并写出作法
（3）求△PCE周长的最小值
这是图片

Answer 1

解：
（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠BCD=60° ，∠ADC=∠ABC=120° ，∵BC=CD，∴△BCD是等边三角形。
∵点E是BC边的中点，由三线合知DE平分∠BDC，∴∠CDE=1／2∠BDC=30°，∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=120°-30°=90°。
（2）连接AC交BD于点O，由菱形的性质得CO=AO，∴点C关于BD的对称点就是点A，连接AE交BD于点P，连接CP、EP，则点P即为在BD上使△PCE的周长最小的点。 （3）由对称性得CP=AP，∴CP+PE=AP+PE=AE。过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，易得BE=CE=1，∠EBF=60°，∴BF=1／2，EF=√3／2。AF=5／2，由勾股定理可求得AE=√7。∴△PCE的周长=CE+CP+PE=CE+AE=1+√7。

Answer 2

1、∵ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠A=∠C=60° AB=BC=CD=AD
∠ABC=∠ADC=120°
∴△ABD和△BCD是等边三角形
∴∠C=∠BDC=60°
∵E是BC的中点，即DE是△BCD的中线
∴DE也∠BDC的角平分线
∴∠EDC=∠BDE=30°
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-30°=90°
2、以BD为对称轴，做E的对称点E′，连接E′C,交BD于P，
连接PE,PC，△PCE的周长最小。
3、由于E点和E′对称（EE′交BD于O)
∴EE′⊥BD 即∠BOE′=∠BOE=90°
∵EO=E′O OB=OB
∴△BOE≌△BOE′
∴∠OBE′=∠OBE BE=BE′
∵∠OBE=∠ABO
∴E′在AB直线上 BE=BE′=EC=1/2AB=1
由余弦定理得
E′C²=BC²+BE′²-2BC×BE′×cos∠ABC
=4+1-2×2×1×(-1/2)
=5+2
=7
∴E′C=√7
∴△PCE的周长
=EC+PE+PC
=EC+E′C
=1+√7

追问

呃。什么是余弦定理啊