Question

求函数极值

接下来该怎么算？

Answer 1

方法如下，
请作参考：

Answer 2

令y'=0，即3(cos²x-sin²x)=0
(cosx+sinx)(cosx-sinx)=0
所以，cosx+sinx=0，或cosx-sinx=0
当x=π/2时，cosx=0，sinx=1，显然x=π/2不是这两个方程的解，即cosx≠0

所以，两个方程可化为：tanx=-1和tanx=1
解这两个方程，得x=3π/4，和x=π/4
所以，函数f(x)有2个驻点，x=3π/4，和x=π/4
f''(x)=-6cosxsinx-6sinxcosx=-12sinxcosx=-6sin2x
f''(3π/4)=6>0，f''(π/4)=-6<0
所以，x=3π/4为极小值点，f(3π/4)=0，x=π/4为极大值点，f(π/4)=√2/2

Answer 3

f = (cosx)^3 + (sinx)^3
f' = 3(cosx)^2 (-sinx) + 3(sinx)^2 cosx = 3sinxcosx(sinx-cosx)
在 [π/6, 3π/4] 的驻点是 π/4, π/2,
f(π/6) = (1+3√3)/8 , f(π/4) = √2/2 . f(π/2) = 1, f(3π/4) = 0
最大值是 1 ， 最小值是 0

追问

请问驻点π/4和π/2是怎么算出来的？

追答

f' = 3sinxcosx(sinx-cosx) = 0,
sinx = 0 在 [π/6, 3π/4] 内无解；
cosx = 0, 在 [π/6, 3π/4] 内解 是 x = π/2；
sinx = cosx 即 tanx = 1，在 [π/6, 3π/4] 内解 是 x = π/4

追问

请问取sin=0，cos取何值？
cos=0 sin为何值

追答

sinx=0，cosx = ±1，在 [π/6, 3π/4] 内无取值；

cosx=0，sinx = ±1，在 [π/6, 3π/4] 内取值 x = π/2。

追问

好的谢谢