Question

高一函数的几个问题~

1.设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax(a>0),求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+无穷)上是单调函数.
2.设映射f:N*->N*满足对所有的正整数有f(n+1)>f(n) (1) ,f(f(n))=4n-1 (2) ,则f(4096)=__

3.若关于x的不等式(（(x^2)+(2a(^2)+2)x-(a^2)+4a-7）/（x(^2)+((a^2)+4a-5)x-(a^2)+4a-7）)<0的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，求实数a的取值范围。

Answer 1

1、要使得函数f（x）在区间[0,+∞)上是单调函数
则f'(x)=x/√(x^2+1)-a≥0在[0,+∞)上恒成立（单增）
或f'(x)=x/√(x^2+1)-a≤0在[0,+∞)上恒成立（单减）
就是函数f'(x)=x/√(x^2+1)在[0,+∞)上的值域
因为x≥0
所以0≤x/√(x^2+1)＜1
故f'(x)=x/√(x^2+1)的值域是[0,1)
所以a≥1或a≤0
综上所述：a的取值范围是{a|a≤0或a≥1}

3、设方程x²+(2a²+2)x-a²+4a-7=0的两根为x1,x2 (x1<x2)
方程x²+(a²+4a-5)x-a²+4a-7=0的两根为x3,x4 (x3<x4)
由x1x2=x3x4=-a²+4a-7=-(a-2)²-3<0
得x1,x2一正一负,x3,x4一正一负.
又由(x1+x2)-(x3+x4)=-(2a²+2)+(a²+4a-5)=-a²+4a-7<0
得x1+x2<x3+x4.
而x1+x2=-(2a²+2)<0,
由此可得 x1<x3<x2<x4.
原不等式等价于(x-x1)(x-x3)(x-x2)(x-x4)<0,
它的解集为x1<x<x3 或 x2<x<x4,
即(x3+x4)-(x1+x2)≥4.
所以-(a²+4a-5)+(2a²+2)≥4.
得a²-4a+3≥0,解得 a≤1 或 a≥3.

Answer 2

第二题，由第一条件，可知f(f(1))=3，分情况讨论：
若f(1)=n>3，则有f(n)=3<f(1)，而由f(n+1)>f(n)可知该函数为单调增函数，f(n)应大于f(1)，矛盾；
若f(1)=3，则有f(3)=3，而由f(n+1)>f(n)，可知f(2)>f(1)=3=f(3)，矛盾；
若f(1)=1，则有f(1)=f(f(1))=3，矛盾；
排除以上情况，可知f(1)=2，则有f(2)=3，f(3)=7，f(7)=11，f(11)=27，f(27)=43，f(43)=107，f(107)=171，f(171)=427，f(427)=683，观察f(11)和f(27)、f(43)和f(107)、f(171)和f(427)，可见在这区间内f(n+1)-f(n)=1，以此类推，可知在区间f(2731)和f(6827)之间，同样有f(n+1)-f(n)=1，而f(2731)=6827，从而可知f(4096)=8192。