Question

设在区间[a,b]上p(x)非负,f(x)g(x)为单调递增函数

证明这个不等式

Answer 1

你怎么还在问啊？还没有人回答吗？
记D=【a b】*【a，b】，因为p(x)p(y)(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))>=0，（x，y)位于D时。于是
二重积分_D p(x)p(y)(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))dxdy>=0。将括号打开，移项得
二重积分_D 【p(x)p(y)f(x)g(x)+p(x)p(y)f(y)g(y)】dxdy
>=二重积分_D 【p(x)p(y)f(x)g(y)+p(x)p(y)f(y)g(x)】dxdy。
注意到左边第一项 化重积分为累次积分
=积分（从a到b）p(x)f(x)g(x)dx 积分（从a到b）p(y)dy
对y的积分已经是一个实数了，可以提出来并将积分变量用x表示
=积分（从a到b）p(x)f(x)g(x)dx 积分（从a到b) p(x)dx
类似其余三项都这么做，然后不等式两边除以2得要证不等式。

追问

就是不懂怎么冒出来p(y),f(y)的

追答

这只是一种证明技巧而已。多做题就能掌握这种解题技巧了。
很多积分题都是用这种方法来证的。

追问

按您的做法，第二个式子是∫p(y)f(y)g(y)dy∫p(x)dx，可以将积分变量用X表示，变成∫p(x)f(x)g(x)dx∫p(x)dx。
第三个是∫p(x)p(y)f(x)g(y)dxdy,化成∫p(x)f(x)dx∫p(y)g(y)dy,即，∫p(x)f(x)dx∫p(x)g(x)dx.帮我看一下这样对吗

追答

对，因此不等式左边两项是一样的，右边两项也是一样的，除以2得要证不等式。