Question

如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=4倍根号2,角BAC=45度,角BAC的平分线交B分别是AD和AB上动点，

如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=4倍根号2,角BAC=45度,角BAC的平分线交B分别是AD和AB上动点，则BM+MN的最小值是？（请忽略那条BE）

有人说可以做点B关于AD的对称点B＇，由对称的性质和等腰三角形的性质可知B＇落在AC上，然后再过点B＇做AB的垂线交AD于M，交AB于N，此时的M、N就是满足题意的M、N” 那为什么此时M、N就满足题意？求解呀，答得好了可以追加 。

Answer 1

按你上面的作法作出B＇，M，N
此时△BB＇M也是等腰三角形，这个很好证明的。
∴BM=B＇M
∴BM+MN=B＇M+MN=BN，下面来证明为什么BN的长度是最小的，
假定M点不是最符合的，那么在AD上另做一点M＇，假定BM＇+MN＇是最小的
在△B＇M＇N中，根据三角形三边关系，两边之和一定大于第三边，
∴BM＇+MN＇>BN，这就跟上面的假定矛盾了。所以BN一定是最小的，即BM+MN最小

补充：其实这道题跟经常画图的一道题很像。一条河的一侧有A、B两个村庄，要在河中建一个供水站P，使得P点到A、B的距离之和最短。想想P点是怎么作出来的。还要明白为什么那样作图。
上面那道题应该可以说是根据这个改编的。祝你数学学得更好！