Question

在三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a,b,c成等比数列（1） 若sinC=2sinA,A,B,C，求三角形

最大内角的余弦值。

（2）求sinB+cosB的取值范围。

Answer 1

a,b,c成等比数列，设比例为k，则有
sinC=ksinB=k.k.sinA
又sinA= sin(B+C)=sinB.cosC+sinC.cosB
所以：k.cosC+k.k.cosB=1
(1)，sinC=2sinA=k.k.sinA ，k=√2
sinC=√2sinB=2.sinA C为最大角
√2.cosC+2.cosB=1
所以cos²B=(1-√2.cosC)²/4
又cos²B=1-sin²B=1-sin²C/2=1/2+cos²C/2
所以cos²B=(1-√2.cosC)²/4=1/2+cos²C/2
可求得cosC=√2/4
(2)， k.cosC+k.k.cosB=1，k².cos²C=(1-k².cosB)²
cos²C=1-sin²C=1-k²sin²B=1-k²+k²cos²B
所以(1-k².cosB)²=k²(1-k²+k²cos²B)
cosB=(1-k²+(k²)²)/(2k²)