Question

导数的应用：

某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m米，此工程只需建两端之间的桥面和桥墩（包括两端的桥墩），经预测一个桥墩的费用为256万元，假设所有桥墩之间的距离均为x，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为（1+√x）*x 万元，假设所有的桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程费用为y万元。① 试写出y关于x的函数关系式 ② 当m=1280米时，需要新建多少个桥墩才能使y最小？

Answer 1

解：根据题意，
需要建(m/x +1)个桥墩和m/x 段桥面工程，
（1）y=256(m/x +1)+m/x (1+ 根号x )x=m( 根号x +256/x )+m+256 (x＞0，m/x ∈N*)
（2）当m=1280时，y=1280( 根号x +256/x )+1536，
y′=1280(1/(2根号x) -256/x的平方 )，
令y′=0得x=64，
当0＜x＜64时，y′＜0；
当x＞64时，y′＞0．
所以当x=64时，
y有最小值16896，
此时要建21个桥墩．
故：需要建21个桥墩才能使y最小．