Question

已知（根号x-2/x平方）的n次方的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。（1）求展开式中各项系数

已知（根号x-2/x平方）的n次方的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。

Answer 1

1
展开式为关于x的幂函数，
所以取x=1,可得到展开式中各项系数的和为
（根号1 - 2/1平方）的n次方
=(-1)^n

第五项的系数与第三项的系数的比为
[C(n)(n-4)·(-2)^4] / [C(n)(n-2)·(-2)^2]
=[4· C(n)(4)] / [C(n)(2)]
=4[(n!)/(24·(n-4)!) ] / [(n!)/(2·(n-2)!) ]
=(n-2)(n-3)/3
即 (n-2)(n-3)/3 = 10
n²-5n-24=0
n为正整数，则解得n=8
故展开式中各项系数的和(-1)^n=1

2
二项式系数最大的项为其中间项：第4项
C(n)(4) · (根号x)^4 · (-2/x平方)^4 =1120/x^6

展开式中的项为
C(8)(t) · (根号x)^t · (-2/x平方)^(8-t)
其系数为
C(8)(t) · (-2)^(8-t)
当t是偶数时，所求的系数才能是最大。
t的可选范围是0，2，4，6，8
C(8)(t) 的变化规律是完全对称性的先增后减，
2^(8-t) 的变化规律是单调递减，
故t的可选范围调整为0，2，4
C(8)(0) · (-2)^(8-0)=2^8=256，
C(8)(2) · (-2)^(8-2)=28×2^6=1792，
C(n)(4) · (-2)^(n-4)=1120×2^4=17920
因此展开式中系数最大的项也是第4项：17920/x^6