Question

求这个1+1/2^2+1/3^2+……1/n^n 的值 n为无限大

虽然知道答案π^2/6 但是不知道具体解法 去问老师 老师也不讲 以求哪位高手为我具体讲解一下 虽然我才高一 但很想知道解法 谢谢了

Answer 1

大家知道：如果偶次方程a0-a1x²+a2x⁴-a3x∧6+......（-1）∧nanx∧2n=0---❶
有一根c，则-c也是它的根，现设❶有根c1、-c1、c2、-c2、......cn、-cn，
显然它们也是a0（1-x²/c1²）（1-x²/c2²）......（1-x²/cn²）=0---❷ 的根，
而且他们的常数项也相等，那么很显然x的同次幂项的系数也是相等的，
特别地，x²项的系数应当相等，即有等式：
a1=a0（1/c1²+1/c2²+......+1/cn²）----❸
打字好累！($ _ $)，现类比考察方程：
sinx/x=0------❹ 由sinx的级数表达式：
sinx=x-x³/3！+x∧5/5！-......+（-1）∧n×x∧（2n+1）/（2n+1）！-------❺
则可以把❹写成：1-x²/3！+x⁴/5!-x∧6/7!+......+(-1)∧n×x∧（2n）/（2n+1）！-------❻
因此方程❹和❻有相同的根，即
π、-π、2π、-2π、......nπ、-nπ.
而这些值也是方程；
（1-x²/π²）（1-x²/2²π²）......（1-x²/n²π²）=0------❼的根，
比较❻和❼，类比❸式可以得到：
1/3！=1/π²+1/2²π²+......+1/n²π²
由此得到：
1/1²+1/2²+.......1/n²=π²/6
证毕。不懂再问我我会说的详细点，祝学习进步！

Answer 2

题错了吧，应该是1/n^2吧

追问

哦 不好意思 最后是1/n^2 可以教教我么

追答

我只能得出
级数和S=-∫(0-->1)ln(1-x)/xdx
这个积分我暂时算不出来
也许有其他简单的办法