Question

一道高二数学难题，希望帮忙！！

已知A、B、D三点不在一条直线上,且A(-2,0)，B（2，0）， →
｜AD｜=2,
→
AE=1/2(→ →)
AB+AD
（1）求点E的轨迹方程
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M,N两点，线段MN的中点到y轴的距离为4/5，直线l与点E的轨迹相切，求椭圆的方程

Answer 1

（1）设E的坐标是(x,y)
D的轨迹是以点(-2,0)为圆心，半径为2的圆。
所以，如果设D的坐标为（m,n）的话，
那么（m+2）^2+n^2=4
此外，根据
→
AE=1/2(→ →)
AB+AD
得出
1/2（AB）为（2，0）
1/2（AD）为（(m+2)/2,n/2）
又AE为（x+2,y）
所以，
x+2=2+(m+2)/2
y=n/2
整理一下。。
得到
m=2x-2 n=2y
代入（m+2^2+n^2=4
得出x^2+y^2=1
(2)
因为E的轨迹已经求出来了。。。
所以直线l的方程很快就可以给出了。。。
它是y=tan30*(x+2) (我不太好打根号，就用三角比表示一下。。。)
同时，题目说中点到y轴的距离是4/5，
根据图象，说明中点的横坐标是-4/5，那么纵坐标是（2√3）/5
所以设椭圆的方程是x^2/a^2+y^2/(a^2-4)=1
然后用点差法来解决
算出a^2=8
所以椭圆的方程为x^2/8+y^2/4=1