Question

已知函数f(x)=x^2 g(x)=x-1 二、设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m^2 且|F(x)| 在[0,1]上单调递增 求m取值范围

F(x)=x²-m(x-1)+1-m-m²=x²-mx+1-m²
△=m²-4(1-m²)=5m²-4
△<0时-2√5/5<m<2√5/5
F(x)>0
|F(x)|=x²-mx+1-m²单调递增区间为[m/2,+∞)
m/2≤0
m≤0
故-2√5/5<m≤0
△≥0时m≥2√5/5或m≤-2√5/5
|F(x)| =0两根x1=[m-√(5m²-4)]/2,x2=[m+√(5m²-4)]/2,中间顶点横坐标m/2
|F(x)| 单调递增区间为[x1,m/2]和[x2,+∞)
x1≤0且m/2≥1或x2≤0
求解得m≥2或-1≤m≤1
故m≥2或2√5/5≤m≤1或-1≤m≤-2√5/5
因此m≥2或2√5/5≤m≤1或-1≤m≤0
知道答案，但是不明白为何要考虑
△<0时-2√5/5<m<2√5/5
F(x)>0
|F(x)|=x²-mx+1-m²单调递增区间为[m/2,+∞)
m/2≤0
m≤0
故-2√5/5<m≤0

Answer 1

因△<0，F(x)>0

虽然F(x)与横轴没有交点，即 F(x)没有实数解，但｜F(x)｜同样可以在[0,1]上单调递增，如下图

Answer 2

△<0时，和x轴没有交点，只有一个单调增区间，即对称轴右面。
△≥0时，函数图象中x轴下面部分上翻，则有两个单调增区间，需要分别讨论。

Answer 3

可以用导数求解：当F(x)》0时，因为F（x）在[0,1]上单调递增：F‘(x)=2x-m》0且x^2-mx+1-m^2》0，F‘(x)=2x-m是增函数，所以，F‘(x)的最小值都要大于0，所以-m》0，即m《0，同理：1-m^2》0可得-1《m《1，综上所述，-1《m《0
当F(x)《0时，同上方法，推出解集为空集.
所以，m的取值范围为[-1,0]