Question

齐次线性方程组一定有解吗?

Answer 1

一定有解。

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立。印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。

解的特征：

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：有唯一零解；有非零解。

故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。