Question

已知a属于R函数f(x)=x|x-a|,a不等于0，函数f(x）在（m,n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m,n的取值范围

（用a表示）

Answer 1

当x≥a时，f(x)=x²-ax=(x-a/2)²-a²/4;
当x≤a时，f(x)=-x²+ax=-(x-a/2)²+a²/4
因为a≠0;
所以：a>0时，a>a/2>0; f(x)在[a,+∞)上是增函数；在(-∞,a/2]上是增函数；
在[a/2,a]上是减函数；此时，要使f(x)在(m,n)上既有最大值，又有最小值，
则有：a>0,m<a/2<a<n,且f(m)=-m²+am≥f(a)=0; f(n)=n²-an≤f(a/2)=a²/4;
a<0时，a<a/2<0,f(x)在[a,a/2]上是减函数；在[a/2,+∞)上是增函数；
在(-∞,a]上是增函数，此时：f(x)在(m,n)上有最大最小值；
则：m<a<a/2<0<n

Answer 2

m<n
f(x)={x^2-ax,x≥a; -x^2+ax, x<a.
y1= x^2-ax=x(x-a)=(x-a/2)^2-a^2/4,x≥a
y2=- x^2+ax=-x(x-a)=-(x-a/2)^2+a^2/4, x<a
f(x)有两个零点x=0, or x=a
a>0
f 极大值=f(a/2)= a^2/4,
f 极小值=f(a)=0
0≤m<a/2, and a<n≤(1+√2)a/2
a<0
f 极小值=f(a/2)= a^2/4,
f 极大值=f(a)=0
(1+√2)a/2≤m<a, and a/2<n≤0