Question

圆周率π怎么算？

Answer 1

说起圆周率π相信大家都不陌生，从小学和初中时期起我们就开始接触它了，现在我们都知道圆的周长与直径之比是π≈3.14，知道它是一个无理数，也是一个超越数。


其实，人们对于圆周率π的理解经历了一个相当漫长的过程，从π的出现到确定它是无理数，人类花了近4千年的时间。最早关于圆周率的历史记录可以追溯到约公元前20世纪，一块古巴比伦石匾清楚地记载了圆周率π=25/8=3.125。同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605，埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。

英国作家 John Taylor (1781–1864) 在其名著《金字塔》（《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》）中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》也显示了圆周率等于分数339/108，约等于3.139。


金字塔与圆周率π

一直到公元前3世纪，古希腊著名数学家、物理学家阿基米德才将圆周率正确地计算到小数点后3位。此后经过五百多年的时间，人们才将π值从3.141推进到3.14159（魏晋时期中国数学家刘徽）。又过了两百多年，南北朝时期的数学家祖冲之用盈朒两数表示圆周率的数值在3.1415926和3.1415927之间，将π的精度计算到小数点后7位，并且在之后的800多年里祖冲之计算出的π值都是准确的。


一直到15世纪初阿拉伯数学家卡西求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

此后，圆周率π的计算从几何法时期进入到分析法时期。这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。第一个快速算法由英国数学家梅钦提出，1706年梅钦计算π值突破100位小数大关，他利用了如下公式：


其中arctan x可由泰勒级数算出，类似的方法称为“梅钦类公式”。 斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后140位，其中只有137位是正确的，这个世界纪录维持了五十年。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。

再后来，电子计算机的出现使π值的计算有了突飞猛进的发展。1949年，美国制造的世上首台计算机—ENIAC（电子数字积分计算机）在阿伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位，这部电脑只用了70小时就完成了这项工作。

五年后，IBM NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。


世界上第一台计算机ENIAC

1989年美国哥伦比亚大学研究人员计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月，法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后2万7千亿位。2010年8月，日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。一年后，近藤茂又刷新了之前5万亿位的记录，将圆周率计算到了小数点后10万亿位。

去年圆周率日（3月14日），谷歌工程师Emma Iwao 利用谷歌运算引擎计算出精确度达31.4万亿位的圆周率。而有人可能也会不禁发问了，人类对圆周率π如此痴迷，如今已计算到了小数点后30多万亿位，那它到底有什么实际作用？


除了我们熟知的圆周率π用来解决圆、球体等几何问题，其实在其他方面也有不少的应用。比如天文学中关于宇宙可观测范围的计算，只要精确到小数点后39位，误差就不会超过一个原子的体积；又如在计算机信息加密领域，重要的文件资料利用圆周率完全随机的数字对数据加密，被破解的几率微乎其微；再如测试计算机的性能，π对于计算机来说就像是一把标尺，计算π的数值越精确，计算机的性能就越强。除此之外，它在三角函数、微积分、交流电、无线电传播计算等多个领域都有着重要的应用。


也有的科学家认为圆周率是宇宙的代码，它无限不规律的特性和宇宙极为相似，如果能计算出π的数值，人类就能够揭开宇宙真正的奥秘。

其实到了现在，圆周率算到后面具体是什么数字已经不重要了，重要的是，小小的一个π，在人类文明发展史中引领着我们不断探索的步伐，甚至可以说，它反映着人类工具、思想和智慧的进化，更多的是一种不断思考和不断追求的精神

Answer 2

由于圆周率π的定义是“圆的周长与直径的比值”，为此圆周率π必须根据“圆的周长与直径的比(并非正6x2ⁿ边形的周长与过中心点的对角线的比)”来计算它。
圆周率π的数值3分之6+2√3就是根据“圆的周长与直径的比6+2√3比3”算出来的3.1547005383...。
如果求圆周率π采用"正6x2ⁿ边形的周长与过中心点的对角线的比值"，那么π的数值3.1415926...就属于正6x2ⁿ边率。正6x2ⁿ边形的周长与对角线的比值叫做正6x2ⁿ边率。