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沿着您的思路往下走:
利用“积的极限等于极限的积”将x的四次方进行拆分。使两个极限均存在。
详情如图所示:
供参考，请笑纳。
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x->0
sinx = x-(1/6)x^3 +o(x^4)
(sinx)^2=[x-(1/6)x^3 +o(x^4)]^2 = x^2 -(1/3)x^4 +o(x^4)
(sinx)^2 -x^2 =-(1/3)x^4 +o(x^4)
//
lim(x->0) [1/x^2 - (cosx)^2/(sinx)^2]
=lim(x->0) [ (sinx)^2 -x^2 ]/[x^2.(sinx)^2]
=lim(x->0) [ (sinx)^2 -x^2 ]/x^4
=lim(x->0) -(1/3)x^4/x^4
=-1/3
sinx = x-(1/6)x^3 +o(x^4)
(sinx)^2=[x-(1/6)x^3 +o(x^4)]^2 = x^2 -(1/3)x^4 +o(x^4)
(sinx)^2 -x^2 =-(1/3)x^4 +o(x^4)
//
lim(x->0) [1/x^2 - (cosx)^2/(sinx)^2]
=lim(x->0) [ (sinx)^2 -x^2 ]/[x^2.(sinx)^2]
=lim(x->0) [ (sinx)^2 -x^2 ]/x^4
=lim(x->0) -(1/3)x^4/x^4
=-1/3
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