Question

已知实数a,b,c,d满足2a^2+3c^2=2b^2+3d^2=(ad-bc)^2=6 求(a ^2+b^2)(c^2+d^2)的值

Answer 1

由题意知：2a^2＋3c^2=6①,2b^2＋3d^2=6②,(ad-bc)^2=6③；①和②相乘得：4(ab)^2＋6(ad)^2＋6(bc)^2＋9(cd)^2=36,即(2ab)^2＋(3cd)^2＋6[(ad)^2＋(bc)^2]=36④；由③得(ad)^2＋(bc)^2=6＋2abcd,代入④得(2ab＋3cd)^2=0,即2ab=-3cd⑤；由③得ad-bc=√6⑥或ad-bc=-√6⑦；联立⑤⑥得c=-(b√6)/3、a=3d/√6,所以ac=-bd,即ac＋bd=0；联立⑤⑦得c=(b√6)/3、a=-3d/√6,所以ac=-bd,即ac＋bd=0；所以ad-bc=±√6无论取正取负,ac＋bd=0⑧；所以(a^2＋b^2)(c^2＋d^2)=(ac)^2＋(ad)^2＋(bc)^2＋(bd)^2⑨；由③得(ad)^2＋(bc)^2=6＋2abcd,此式代入⑨得(a^2＋b^2)(c^2＋d^2)=6＋(ac＋bd)^2,⑧代入此式得(a^2＋b^2)(c^2＋d^2)=6.解毕.