Question

已知sin³α+cos³α=1,求sinαcosα

求过程

Answer 1

sin³α+cos³α=1
=(sinα+cosα)(sin²α-sinαcosα+cos²α)
=(sinα+cosα)(1-sinαcosα)
=1
sinα+cosα=1/(1-sinαcosα)
平方：
1+2sinαcosα=1/(1-2sinαcosα+sin²αcos²α)
1+2t=1/(1-2t+t²)
(1-2t+t²)(1+2t)=1
2t³-3t²=0
t=0或t=3/2(后者舍)
∴sinαcosα=0

Answer 2

sin3a+cos3a=1
所以(1-cos2a)sina+(1-sin2a)cosa=1;
所以(sina+cosa)-sinacosa(sina+cosa)=1;
所以（sina+cosa）(1-sinacosa)=1;
所以（sina+cosa）{1-[(sina+cosa)^2-1]/2}=1;
令x=sina+cosa;
则x[1-(x^2-1)/2]=1;
则x=1或x=-2(舍)；
故x=1;
即sina+cosa=1;
（sina+cosa)^2=1,Sina cosa=[（sina+cosa)^2-sina^2-cosa^2]/2