Question

用赋值法求函数解析式

如题：已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1，若xㅌN+，试求f(x)的表达式。
不太能理解赋值法，请把这道题做得详细点一点，谢谢~鞠躬~

Answer 1

令y=1
f(x+1)=f(x)+2x+4
所以
f(2)=f(1)+2×1+4
f(3)=f(2)+2×2+4
f(4)=f(3)+2×3+4
依此规律：
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4
左边相加=右边相加
所以f(x)=x²+3x-3 （x∈N+）

追问

左边相加=右边相加??不太明白。。最后怎么得出来f(x)=x²+3x-3

追答

f(2)+f(3)+f(4)+……+f(x)=f(1)+f(2)+……+f(x-1)+2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1)
f(x)=f(1)+x²-x+4x-4
=1+x²-x+4x-4
=x²+3x-3

Answer 2

给x赋值为（1/x），得到式子f（1/x）+2f（x）=3/x,与题目中的式子一加，化简得到f（x）=
2/x
-x