Question

数学 | 泰勒级数

Answer 1

泰勒级数： 只要一个函数无穷光滑，那么泰勒级数就存在，但是不一定收敛，而且即使收敛，也不一定收敛于原函数。

泰勒公式： 就是会有余项，多用在极限计算和中值定理，应用的条件只要函数在待考察的区间上有n+1阶导数，就有

（拉格朗日余项），这个的成立与否不需要考虑自变量的取值问题

泰勒展开式： 泰勒展开式的方向是从函数变成级数，而且要求级数必须收敛，并且必须收敛于被展开函数在对应点所取到的函数值。所以会有收敛域

如果 在点

具有任意阶导数，则幂级数

称为 在点 处的泰勒级数。

若函数 在包含 的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对闭区间 上任意一点 ，成立下式：

是泰勒公式的余项

这个会有 收敛区间 ，这个就是其和泰勒公式的区别，比如

在其定义域内泰勒公式都成立，但是泰勒展开式却只有在

内成立，这就是区别，可以说在收敛区间内两个是一致，但是不在收敛区间时就不一定了。泰勒级数可以说只是代表一种计算方式。

所以这三种是有很大区别的，别再傻傻分不清了