Question

高斯和黎曼的微分几何（三）

Answer 1

黎曼的继承者

黎曼逝世两年后即1868年，他1854年的文章出版后引起了大家强烈的兴趣，其直接继承者是贝尔特拉米、克里斯托费尔和李普希茨。
贝尔特拉米(Eugenio Beltrami,1835-1900)是大学数学教授，他知道黎曼1854年的文章，但不知道1861年的文章，又研究了黎曼对常曲率空间给出的ds^2表达式，他还证明了黎曼的其它几个论断并研究了微分不变量的课题。
克里斯托费尔(Elwin Bruno Christoffel,1829-1900)推进了黎曼文章中的思想，重新考虑并详细论述了黎曼1861年文章中粗略讨论的题目：形式 变为 的必要充分条件，他在文中附带引入了克里斯托费尔记号。考虑二维情形，通过解微分方程得到关系是K=K'。对n元的情形，他得到xi作为yi函数的n(n+2)/2个偏微分方程，如 ，这些方程是使F=F'变换存在的充要条件。
为了讨论这组方程的可积性，以及为了考虑dxi高于两次的形式，克里斯托费尔作了许多微分和代数推导，证明了两个四指标记号的对应关系，这一关系是两个四线性形式G4=G4'的必要充分条件。他将理论推广到μ重微分形式，得到Gμ变成G'μ的必要充分条件，再给出从μ重形式Gμ导出一个(μ+1)重形式G(μ+1)的一般方法，他的方法就是后来Ricci和Levi-Civita的协变微分。
克里斯托费尔关于黎曼几何只写了一篇关键性文章，但李普希茨(Rudolph Lipschitz,1832-1903)自1869年起发表了大量文章，他对贝尔特拉米、克里斯托费尔的工作做了某些推广，并对黎曼和欧几里得n维空间给出了某些新结果。
黎曼几何被三人继承发展，在欧几里得微分几何和黎曼微分几何方面都提出了大量新问题，特别以前在三维欧几里得情形得到的结果，被推广到n维中的曲线、曲面和较高维的形式。比如1886年舒尔(Friedrich Schur,1856-1932)证明了后来以他名字命名的定理（但是搜舒尔定理，搜到了L.舒尔关于数论的一个定理），根据黎曼提出曲率概念的思路，舒尔讲到空间的一个定向曲率，这种定向由一束测地线μα+λβ确定，其中α、β是从一点出发的两条测地线的方向，这个束构成一个曲面且有一个高斯曲率，舒尔称之为定向的黎曼曲率。他断言，如果空间的黎曼曲率在每一点都与定向无关，则黎曼曲率在全空间是常数，因此这种流形是一个常曲率空间。