Question

专题：代数余子式求和

Answer 1

（1）用余子式（代数余子式）的定义直接计算.此法一般计算量较大，易出错；
（2）利用行列式元素的余子式（代数余子式）与此元素的值无关的特点，改变行列式的某个（行或列）元素，然后利用行列式的展开定理处理.此法应用较多.
（3）考虑矩阵的伴随矩阵.

例3.2已知五阶行列式

计算 以及
例3.5
例3.6设 阶行列式 且满足 对任意 求 阶行列式
例3.7偶数阶反对称行列式的每个元素都加上同一个数后，行列式的值不变
例3.8(1)把下列行列式表示成按 的幂次排列的多项式
(2)把行列式D的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变。
例3.10（北京工业大学2012）将 阶实矩阵 的第一行的 倍加到其余所有行上，得到矩阵 ，将 的第一列的 倍加到其余所有列上，得到矩阵 ，将 的第一行，第一列删掉，得到矩阵 .记 （其中，行向量 ， 是 的伴随矩阵）.证明：当 时， .（提示：可考虑 及其行列式 ，其中， 表示所有元素都是 的 阶方阵）.

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