如图,在平行四边形ABCD中,已知AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的角平分线,
1求证:AC,EF互相平分2若∠B=60,BE=2CE,AB=4cm,求四边形AECF的周长和面积...
1求证:AC,EF互相平分
2若∠B=60,BE=2CE,AB=4cm,求四边形AECF的周长和面积 展开
2若∠B=60,BE=2CE,AB=4cm,求四边形AECF的周长和面积 展开
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1,证明:因为ABCD是平行四边形
所以角BAD=角BCD
AD平行BC
所以角DAE=角AEB
因为AE平分角BAD
所以角DAE=1/2角BAD
因为CF平分角BCD
所以角FCB=1/2角BCD
所以角DAE=角FCB
所以角AEB=角FCB
所以AE平行CF
因为AD平行BC(已证)
所以AECF是平行四边形
所以AC,EF互相平分
2,解:因为ABCD是平行四边形
所以AD=BC
AD平行BC
所以角DAE=角AEB
角B+角BAD=180度
因为角B=60度
所以角BAD=120度
因为AE平分角BAD
所以角BAE=角DAE=1/2角BAD=60度
所以角B=角BAE=角AEB=60度
所以三角形ABE是等边三角形
所以AB=BE=AE
因为AB=4cm
所以AE=BE=4cm
因为BE=2CE
所以CE=1cm
因为AECF是平行四边形(已证)
所以AE=CF
AF=CE
所以四边形AECF的周长=AE+CE+CF+AF=4*2+1*2=10cm
四边形AECF的面积=1/2*AE*CE*sin120*2=根号3cm^2
所以角BAD=角BCD
AD平行BC
所以角DAE=角AEB
因为AE平分角BAD
所以角DAE=1/2角BAD
因为CF平分角BCD
所以角FCB=1/2角BCD
所以角DAE=角FCB
所以角AEB=角FCB
所以AE平行CF
因为AD平行BC(已证)
所以AECF是平行四边形
所以AC,EF互相平分
2,解:因为ABCD是平行四边形
所以AD=BC
AD平行BC
所以角DAE=角AEB
角B+角BAD=180度
因为角B=60度
所以角BAD=120度
因为AE平分角BAD
所以角BAE=角DAE=1/2角BAD=60度
所以角B=角BAE=角AEB=60度
所以三角形ABE是等边三角形
所以AB=BE=AE
因为AB=4cm
所以AE=BE=4cm
因为BE=2CE
所以CE=1cm
因为AECF是平行四边形(已证)
所以AE=CF
AF=CE
所以四边形AECF的周长=AE+CE+CF+AF=4*2+1*2=10cm
四边形AECF的面积=1/2*AE*CE*sin120*2=根号3cm^2
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解:(1)AC,EF互相平分.
证明如下:
∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA
又∵AE,CF分别平分∠BAD,和∠BCD.
∴∠BAE=∠DAE=
12
∠BAD,
∠BCF=∠DCF=
12
∠BCD,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠DAE=∠BCF
又∵∠DAE=∠BEA,
∴∠BEA=∠BCF∴AE∥CF
又∵AF∥CE,
∴四边形AECF为平行四边形,
∴AC,EF互相平分;
)∵∠BAE=∠DAE,∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,又∠B=60°,
∴△ABE为等边三角形,
∴AB=BE=AE=4
又BE=2CE,
∴CE=2,
∴平行四边形AECF周长为:(2+4)×2=12,
过点A作AH⊥BE于H,则BH=
12
BE=2,
∴AH=2根号3
∴S平行四边形AECF=CE•AH=2×2根号3=4根号3(AH是过点A坐的高)
点评:此题主要考查了平行四边形的性质和判定,灵活应用性质是解题的关键.
证明如下:
∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA
又∵AE,CF分别平分∠BAD,和∠BCD.
∴∠BAE=∠DAE=
12
∠BAD,
∠BCF=∠DCF=
12
∠BCD,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠DAE=∠BCF
又∵∠DAE=∠BEA,
∴∠BEA=∠BCF∴AE∥CF
又∵AF∥CE,
∴四边形AECF为平行四边形,
∴AC,EF互相平分;
)∵∠BAE=∠DAE,∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,又∠B=60°,
∴△ABE为等边三角形,
∴AB=BE=AE=4
又BE=2CE,
∴CE=2,
∴平行四边形AECF周长为:(2+4)×2=12,
过点A作AH⊥BE于H,则BH=
12
BE=2,
∴AH=2根号3
∴S平行四边形AECF=CE•AH=2×2根号3=4根号3(AH是过点A坐的高)
点评:此题主要考查了平行四边形的性质和判定,灵活应用性质是解题的关键.
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求图,没图不好理解!
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