Question

求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内．

Answer 1

证明：第一种情形（如图1）：四条直线l 1 ，l 2 ，l 3 ，l 4 没有三条直线过同一点，
这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F，它们各不相同，
因直线l 1 ，l 2 相交于点A，可决定一平面α；
因点B、C、D、E均在平面α内，
所以直线l 3 ，l 4 也在平面α内，
故直线l 1 ，l 2 ，l 3 ，l 4 同在平面α内．
第二种情形（如图2）：四条直线l 1 ，l 2 ，l 3 ，l 4 中有三条，
例如l 1 ，l 2 ，l 3 ，过同一点A，
因直线l 4 不过点A，
故由点A及直线l 4 可决定一平面α，
因直线l 4 与直线l 1 ，l 2 ，l 3 ，相交，
设交点为B、C、D，
则点B、C、D在直线l 4 上，从而在平面α内，
因此，直线l 1 ，l 2 ，l 3 ，各有两点在平面α内，
即这三条直线在平面α内，
故四直线l 1 ，l 2 ，l 3 ，l 4 在同一平内．