求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内.
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证明:第一种情形(如图1):四条直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,l 4 没有三条直线过同一点,
这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F,它们各不相同,
因直线l 1 ,l 2 相交于点A,可决定一平面α;
因点B、C、D、E均在平面α内,
所以直线l 3 ,l 4 也在平面α内,
故直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,l 4 同在平面α内.
第二种情形(如图2):四条直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,l 4 中有三条,
例如l 1 ,l 2 ,l 3 ,过同一点A,
因直线l 4 不过点A,
故由点A及直线l 4 可决定一平面α,
因直线l 4 与直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,相交,
设交点为B、C、D,
则点B、C、D在直线l 4 上,从而在平面α内,
因此,直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,各有两点在平面α内,
即这三条直线在平面α内,
故四直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,l 4 在同一平内.
这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F,它们各不相同,
因直线l 1 ,l 2 相交于点A,可决定一平面α;
因点B、C、D、E均在平面α内,
所以直线l 3 ,l 4 也在平面α内,
故直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,l 4 同在平面α内.
第二种情形(如图2):四条直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,l 4 中有三条,
例如l 1 ,l 2 ,l 3 ,过同一点A,
因直线l 4 不过点A,
故由点A及直线l 4 可决定一平面α,
因直线l 4 与直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,相交,
设交点为B、C、D,
则点B、C、D在直线l 4 上,从而在平面α内,
因此,直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,各有两点在平面α内,
即这三条直线在平面α内,
故四直线l 1 ,l 2 ,l 3 ,l 4 在同一平内.
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