Question

数值计算day2-求解非线性方程

Answer 1

上节课介绍了计算机中浮点数的表示方法，数值计算中涉及到的几种误差以及数值方法这门课中的一些数学基础。本节课将介绍如果使用数值方法来求解非线性方程。

实际中，很多方程无法写出解析解，比如：

通常，求解非线性方程的方法有两类：一类是交叉法(bracketing methods)，一类是开放法(open methods)。在交叉法中，先确定解所在的一个区间，利用数值算法，不断缩小该区间，直到区间两端点之间的距离小于一个给定的精度。在开放法中，通常先给出解的一个估计值，再利用数值算法，得出一个更精确的解。

在介绍一些数值解法之前，先介绍在数值解中误差的几种估计。由于数值解并不是真实解，因此必须使用一些误差估计原则来确定数值解的真实程度。假设 是 真实解，即 ， 为数值估计解， ，有如下四种对误差的度量方式：

给定区间 ，假设 连续且 在该区间上有解。此时， 在区间的那两个端点必定异号，即 ，或者 ，换句话说，如果 与 之间有一个解，则 。

二分法的优缺点：

MATLAB实现：

将两点 之间的连线与 轴的交点作为估计点：

对连续可导函数 ，假设知道 在一个给定点附近有一个解，则可以使用牛顿法来估计解：

停机准则：牛顿法通常使用估计值的相对误差来作为停止条件

牛顿法的优缺点：

例：方程 的解为 ，使用牛顿法求解：
迭代公式为：

MATLAB实现

割线法使用两个与解临近的初始点来估计一个新的解。假设初始点为 ， ，穿过这两个点的直线与 轴的交点就被作为新的估计值 ，这两个初始点的可以在解的同侧，也可以在不同侧：

使用固定点迭代法求解方程的需要将方程改写为： 最简单的改写方法是 ，显然若 是 的解，则必有 ，改写后得到的方程可以通过绘图来求解：

例： ，使用固定点法求解( )

初始点可以通过画图进行估计：

本节课主要介绍了求解非线性方程的几种方法，主要分为两类，一类是交叉法，包括二分法、线性插值法，这类方法的停止条件通常采用解的差值准则；一类是开放法，包括牛顿法、割线法以及固定点法，这类方法的停止准则主要采用估计值的相对误差来规定。