Question

数据结构-堆

Answer 1

堆其实就是一棵完全二叉树，即若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边。

定义为：具有n个元素的序列（h1,h2,...hn），当且仅当满足（hi>=h2i,hi>=h2i+1）或（hi<=h2i,hi<=2i+1） (i=1,2,...,n/2)时称之为堆。完全二叉树的根结点称为堆的顶。

可以注意到，堆仅保证元素和其子结点之间的关系，并不保证兄弟结点之间的关系。

常见的堆包括最大堆和最小堆。

最大堆，顾名思义，堆顶的键值是所有堆结点键值中最大者。套用前面讲到过的规则， 当且仅当满足（hi>=h2i,hi>=h2i+1）或（hi<=h2i,hi<=2i+1） (i=1,2,...,n/2) ，所有父结点的键值均大于子结点。

由最大堆的定义，可以很容易的理解最小堆，即所有父结点的键值均小于子结点。

堆的内存形式有两种，一种是链表，一种是数组。

对于一个堆，常用的操作有两种，插入一个新的结点和删除堆顶。

向堆插入一个结点，首先要保证堆依然是一个完全二叉树，即必须保证一行（也就是一层）构建完成才能继续添加下一层的结点。这就意味着完全二叉树新增加结点的位置是唯一固定的。对应数组来说，就是在数组的末尾增加一个元素。

进一步，对这个完全二叉树进行调整，即移动父结点和子结点的相互位置关系，使其满足条件而重新成为堆。这种调整可以简单的看成是一些列的上浮（shift-up）操作。可以看看下面这个简单的图。

可以看到，所谓的shift-up，就是将新插入的结点不停的和其父结点进行比较，如果子结点的键值大于（最大堆）/小于（最小堆）其父结点，那么就对二者进行交换，因为这里是数组，所以仅需要交换结点之间的键值，直到子结点的键值不大于（最大堆）/不小于（最小堆）其父结点。

和插入新的结点类似，删除堆顶，还是首先要保证堆依然是一个完全二叉树，即必须保证一行（也就是一层）全部删除之后才能继续删除上一层的结点。这就意味着完全二叉树删除的结点的位置是唯一固定的。对应数组来说，就是删除数组末尾的元素。

删除堆顶的操作可以分为3步：

步骤1和2非常简单，执行完成之后，新的完全二叉树如图所示：

步骤3是问题的重点和难点，可以简单的看成是一些列的下沉（shift-down）操作。

对于某个结点（parent），所谓的shift-down，包括以下子步骤（这里以最大堆为例）：

以上面的堆为例：

构建堆有两种方式，一种是从无到有，也就是一个不断插入结点的过程；而另一种就是在原有完全二叉树的基础上，按照某种规则对结点进行调整。

从原理上说，从无到有的构建堆比较简单，对于每一个新增结点，对其进行插入操作，结果必然是一个堆。

在原有的完全二叉树上进行调整，稍微复杂一些，可以从最后一个非叶结点开始，对每个非叶结点进行shift-down操作。

该操作的难点在于如何找到“非叶结点”和“最后一个非叶结点”。考虑非叶结点的定义，一个结点如果 有至少一个子结点 ，那么就称其为 非叶结点 。因此，我们只要遍历所有的结点（根结点除外）的父结点，就可以遍历所有的 非叶结点 。知道了如何找到“非叶结点”，找出“最后一个非叶结点”的方法显而易见，最后一个叶结点（数组的末尾）的父结点就是“最后一个非叶结点”。

通过之前的章节，不难看出，堆操作的核心是两个步骤：shift-down和shift-up，更进一步，这两个操作都是递归的。

不仅在面试中，堆在日常工作中也经常被使用。堆经常会被作为优先队列来使用，常见于例如任务调度，数组合并等场景。

在java中，优先队列实现了堆的数据结构【1】。我之前的一篇文章 Java 优先队列 （PriorityQueue） 对优先队列进行了简单介绍，可以参考。
【1】 https://docs.oracle.com/en/java/javase/11/docs/api/java.base/java/util/PriorityQueue.html

其他参考文章：
【2】 最大堆（创建、删除、插入和堆排序）
【3】 数据结构：堆（Heap）
【4】 关于堆结构的详解
【5】 构建堆的时间复杂度
【6】 最大堆的插入/删除/调整/排序操作(图解+程序)（JAVA）