Question

若数列An,A1=2/3,且A(n+1)=An+1/(n+2)(n+1) （n属于N），则通项An=?求详细过程！谢谢！

Answer 1

an+1=an+1/(n+1)*(n+2)可化为：
an+1-an=1/(n+1)-1/(n+2)
........................................................
a1 = 2/3
a2-a1=1/2-1/3 (说明；上下行的相同的a1可以用反斜杠抵消，以下同）
a3-a2=1/3-1/4
a4-a3=1/4-1/5
....................................
...................................
an-an-1=1/n-1/(n+1) （说明： 将这n个相加后左边只剩下一项an,右边剩（2./3; 1/2, -1/(n+1)）
将这n个式子相加得：
an=2/3+1/2-1/(n+1)=7/6-1/(n+1)

Answer 2

a(n+1)=an +1/[(n+1)(n+2)]=an +1/(n+1) -1/(n+2)
a(n+1)+ 1/(n+2)=an +1/(n+1)
a1+ 1/2=2/3 +1/2=7/6
数列{an +1/(n+1)}是各项均为7/6的常数数列。
an +1/(n+1)=7/6
an=7/6 -1/(n+1)
数列{an}的通项公式为an=7/6 -1/(n+1)

Answer 3

A(n+1)=An+1/(n+2)(n+1)
即A(n+1)=An+1/(n+1) -1/(n+2)
∴An=A(n-1)+1/n-1/(n+1)
A(n-1)=A(n-2)+1/(n-1)-1/n
A(n-2)=A(n-3)+1/(n-2)-1/(n-1)
……
A3=A2+1/3-1/4
A2=A1+1/2-1/3
将上面的式子累加（左右分别累加），并消去左右相同的项A(n-1)、A(n-2)、…、A2，得
An=A1+[1/n-1/(n+1)]+[1/(n-1)-1/n]+…+[1/3-1/4]+[1/2-1/3]
化简得：
An=A1-1/(n+1)+1/2
An=2/3-1/(n+1)+1/2
An=7/6-1/(n+1)
希望这个回答对你有帮助~