Question

已知sinαcosβ=1/2,求cosαsinβ的取值范围

Answer 1

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cosαsinβ=sin(α+β)-sinαcosβ
因为-1<=sin(α+β)<=1,
sinαcosβ=1/2
所以-3/2<=sin(α+β)-sinαcosβ<=1/2
所以-3/2<=cosαsinβ<=1/2

追问

拜托，这不对

追答

额，考虑掉了，应该这样
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1/2+cosα*sinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1/2-cosα*sinβ

因为｜sin(α+β)｜≤1，所以|1/2+cosα*sinβ|≤1
－1≤1/2+cosα*sinβ≤1，－1.5≤cosα*sinβ≤0.5
同理：由｜sin(α－β)｜≤1，所以|1/2－cosα*sinβ|≤1
－0.5≤cosα*sinβ≤1.5

所以：－0.5≤cosα*sinβ≤0.5

Answer 2

sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)
sin(α+β)的取值为（0，1）
∵sinαcosβ=1/2
∴cosαsinβ的取值范围为（-1/2，1/2）

追问

为什么sin（α+β）∈（0,1）

追答

是（-1，1）搞错了

Answer 3

sinαcosβ+,cosαsinβ =sin(α+β) 所以cosαsinβ=sin(α+β)-sinαcosβ=sin(α+β)+1/2属于[-1/2,3/2]
sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β) 所以cosαsinβ=sinαcosβ-sin(α-β)=-1/2-sin(α-β) 属于[-3/2,1/2]
所以cosαsinβ的取值范围为: [-1/2,1/2]