Question

如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°,CD为AB边上的高,DE⊥AC于点E,△ADE的中线AG的延长线交BC于点F

求证（1）F是BC的中点（2）若CF=FC求证FG=1/3AF（3）在（2）的条件下若AC=6根号2，求DE的长

Answer 1

（1)证明：在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE//BC
△AEG∽△ACF, △AGD∽△AFB,可得EG/CF=AG/AF=GD/FB
∵EG=GD,∴CF=FB，即，F是BC的中点；

（2）连接CG并延长CG交BC于H，连接BG
∵CF=FG，∴CF=FB=FG，BG⊥CH
又CD⊥AB，∴∠BDC=∠BGC=90°，∴B、C、D、G共圆
又DG//BC,则BCGD为等腰要梯形，∠HCB=∠HBC，HC=HB
∠CAB+∠ABC=∠ACH+∠HCB=90°，∴∠CAB=∠ACH，HC=HA
即CH为AB边上中线，AF为BC边上中线，G为△ABC重心
∴FG=1/3AF；

（3）△AEG∽△ACF，AE/AC=EG/CF=AG/AF=2/3
∵CF=FG=1/3AF,则AC^2+1/9AF^2=AF^2,AF^2=9/8AC^2
又AC=6√2,则AF=9，CF=3，EG=2，ED=4