Question

矩阵合同的条件是什么？

Answer 1

两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同，由这个条件可以推知，合同矩阵等秩，相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵，一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(=A′)称为正定矩阵。

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 　

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 　

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

定义：

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A。

矩阵的秩，记作rA，或rankA，特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n)易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r，也就是要计算它的子式，当计算至r阶子式不等于零，而r+1阶子式等于零时，矩阵的维数（秩）就为r。