Question

已知x = 1 是函数f ( x) = ( ax - 2)e x 的一个极值点

已知x = 1 是函数f ( x) = ( ax - 2)e x 的一个极值点．
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）当 x1 ， x2 ∈ [ 0, 2] 时，证明： f ( x1 ) - f ( x2 ) ≤ e

Answer 1

解：(1) 由f ( x) = ( ax - 2)e^ x 得f '( x) =ae^x+ ( ax - 2)e x 已知x = 1 是函数f ( x) = ( ax - 2)e x 的一个极值点．f' ( 1)=0 即 ae+(a-2)e=0 a=1
(2) 因为f ( x) = ( x - 2)e^ x f '( x) =e^x+ ( x - 2)e x =(x-1)e^x
当 x∈（- ∞，1）时 f '( x)<0 函数 f ( x) = ( x - 2)e^ x 在x∈（- ∞，1）上单调递减；
当 x∈（1，+∞）时 f '( x)>0 函数 f ( x) = ( x - 2)e^ x 在x∈（1,+∞）上单调递增。
函数 f ( x) = ( x - 2)e^ x 在x = 1 处取得最小值，最小值为-e.
而f ( 0) = ( 0 - 2)e^ 0=-2 f ( 2) = ( x2- 2)e^ 2=0
所以 函数 f ( x) = ( x - 2)e^ x的最小值为-e. 最大值为-e.
因此，当 x1 ， x2 ∈ [ 0, 2] 时，总有 f ( x1 ) - f ( x2 ) ≤ e

Answer 2

对f(x)求导，f'(x)=2aex-2e
(1)因x=1为极值点，则此时f'(x)=2aex-2e=0，求得a=1
(2)证明：f(x1)-f(x2)=e[(x1-1)^2-(x2-1)^2]，由题可知(x1-1)^2和(x2-1)^2均为≥0且≤1的数，故其差的必然≤1，所以f ( x1 ) - f ( x2 ) ≤ e

Answer 3

解：f'(x)=(ax-2)e^x+ae^x
又x=1是其极值点 代入导函数中为零，既有 a=1
将x=1代入导函数有（x-2）e^x+e^x,令导函数大于零则有x>1,导函数小于零有x<1,则x=1为其极小值点,则极小值f(1)=-e，在区间内，当x=0 f(x)=-2,f(2)=0,则在区间内，在x=2点取得最大值，则最大值减去极小值在区间内为e,既f(2)-f(0)=e,则有在区间内，任意的x1,x2,有f（x1)-f（x2）≤e