Question

一元二次方程根的分布

Answer 1

一元二次方程根的分布可以从方程和二次函数两方面入手解决问题；从方程的角度来看，一般考虑用韦达定理去表示根的分布；从函数的角度看，主要从以下四个方面考虑根的分布：① 开口方向，② 判别式，③ 对称轴，④ 特殊点。

第一个约束条件表示函数有两个零点；从上图可以看出来，f(x)的对称轴必定是在区间(p,q)内，所以得到了第二个约束条件；因为x1>p，所以当开口向上，即a>0时，f(p)>0，当开口向下，即a<0时，f(p)<0，综合起来就是a⋅f(p)>0，即为第三个约束条件；因为x2<q，所以当开口向上，即a>0时，f(q)>0，当开口向下，即a<0时，f(q)<0，综合起来就是a⋅f(q)>0，即为第四个约束条件。

因为x1<p，所以当开口向上，即a>0时，f(p)<0，当开口向下，即a<0时，f(p)<0，综合起来就是a⋅f(p)<0，即为第一个约束条件；因为x2>q，所以当开口向上，即a>0时，f(q)<0，当开口向下，即a<0时，f(q)>0，综合起来就是a⋅f(q)<0，即为第二个约束条件。