Question

已知函数f（x）的定义域为R，且函数f（x-1）为奇函数，函数f（x+1）为偶函数，则（ ）

A.f（x）为偶函数 B.f（x）为奇函数 C.f（x+5）为偶函数 D.f（x+7）为奇函数。

答案是C,D。求详细解释。

Answer 1

其实这个题目可以猜：
y=f(x-1)为奇函数 即 f(x-1)的图像关于（0，0）对称；
从而f(x)的图像关于（-1，0）对称；
y=f(x+1)为偶函数 即 f(x+1)的图像关于y轴对称，
所以f(x)的图像关于直线x=1对称；
对称轴x=1到对称中心(-1,0)的距离是2
∴根据对称性得：对称轴x=1的右边必须还有一个对称中心(3，0)和原对称中心(-1，0)对称。
同理对称中心对称中心(3，0)右边还要有一个对称轴x=5和原对称轴x=1对称
以此类推，(7，0)是对称中心
∴f(5+x)=f(5-x)，即f(x+5)=f(-x+5)，∴f(x+5)是偶函数
f(7+x) = -f(7-x)，即f(x+7)=-f(-x+7)，∴f(x+7)是奇函数

具体的解答如下：

∵y=f(x-1)为奇函数
∴ f(-x-1) = - f(x-1)……①
用x+2替代x，得：
f(-x-3) = - f(x+1) …… ②
∵y=f(x+1)为偶函数
∴f(x+1)=f(-x+1) …… ③
用x-2替代x，得：
f(x-1) = f(-x+3) …… ④
由②③，得：
- f(-x+1)= f(-x-3)， 分别用 -x-4 、 x-4 、 x-6替代x，得：
用-x-4替代，得：-f(x+5)=f(x+1) =f(-x+1) …… ⑤ (这一步用到③)
用x -4替代，得： -f(-x+5)= f(-x+1)…… ⑥
用x -6替代，得： -f(-x+7)= f(-x+3)…… ⑦
由⑤⑥，得：
f(x+5) = f(-x+5)
∴f(x+5)是偶函数。

由①④，得：
f(-x+3)=-f(-x-1) ……⑧
用-x-4替代x，得：
f(x+7)= - f(x+3)，……⑨
用x-4替代x，得：
f(x+3)= - f(x-1) = - f(-x+3)=f(-x+7) …… ⑩ (这一步用到④和⑦)
由⑨⑩，得：
f(x+7)= -f(-x+7)
∴f(x+7)是奇函数。

Answer 2

画个图就可以看出，如果要满足f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，则f(x)必然是以(-1,1)为1/4)周期的周期函数，所以f(x+7)和f(x-1)隔两个周期，特性相同，f(x+5)和f(x+1)相差一个周期，特性相同