Question

行列式按行展开的依据是什么？

Answer 1

行列式的展开公式是在线性代数的范围内，行列式的值代表由它的列向量张成的“立体”的“体积”。行列式按行展开的定理是拉普拉斯定理的一种简单情况，该行各元素分别乘以相应代数余子式求和，就等于行列式的值。

如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开，不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用。

比如：行列式

D=|a11 a12 a13 a14|

|a21 a22 a23 a24|

|a31 a32 a33 a34|

|a41 a42 a43 a44|

a23处在二行三列，从原行列式中划去它所在的行和列各元素，剩下的元素按原位排列构成的新行列式，称为它的余子式。（是一个比原来行列式低一阶的行列式）

性质：

1、行列互换，行列式不变。

2、把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

3、如果行列式的某行（列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

4、如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。

5、如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

6、把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

7、对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。