Question

xy'–y=1 x3求微分方程的通解

Answer 1

解法1： xy'-y=1+x^3 两边对x求导： y'+xy''-y'=3x^2 xy''=3x^2 y''=3x ∫y''dx=∫3xdx+c y'=(3/2)x^2+c ∫y'dx=(3/2)∫x^2dx+∫cdx+d y=(1/2)x^3+cx+d c、d是任意常数 由于开始两边求导，因此可能会伤害到常数，况且y的1 次导数的微分方程，只有一个任意常数项，因此带入到原方程，可求得d=-1 通解y=(1/2)x^3+cx-1 解法2： xy'- y=(x^2)(y/x)'=1+x^3 两边除以x^2: (y/x)'=x+1/x^2 y/x=∫(x+1/x^2)dx+c =(1/2)x^2-(1/x)+c y=(1/2)x^3+cx-1