Question

如何解立体几何题？

Answer 1

微元法：任取x,x+dx小段，绕y轴旋转，得一个空心圆柱体，沿平行于y轴剪开，得一个长方体：厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长），故dV=2πxf(x)dx。

旋转而得的立体是一个中间圆台形镂空、以x＝2为旋转轴的立体，所谓在[0,1]上取小区间[x,x+dx]，实际上是在x处取了一个厚为dx、环绕直线x＝2的圆环，该圆环的周长是2π(2-x)，高是上半圆周对应的函数减去直线对应的函数，厚度是dx，周长×高×厚度就是微元dV

最常见的换“元”技巧有如下几种

（1）“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；

（2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；

（3）“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；

（4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。