Question

设不等式2x-1>a(x^2-1)对满足a绝对值小于且等于2的一切实数a恒成立，求实数x的取值范围。

Answer 1

（用主元转换）
不等式2x-1>a(x^2-1)对满足|a|≤2的一切实数a恒成立即
不等式(x^2-1)a-(2x-1)<0对满足-2≤a≤2的一切实数a恒成立
设g(a)=(x^2-1)a-(2x-1)
当x^2-1=0，x=±1时，可知x=1符合题意
当x≠±1时，要使g(a)=(x^2-1)a-(2x-1)<0对满足-2≤a≤2的一切实数a恒成立
则g(-2)=-2(x^2-1)-(2x-1)<0.........①
g(2)=2(x^2-1)-(2x-1)<0............②
解①得x<(-1-√7)/2或x>(-1+√7)/2
解②得(1-√3)/2≤x≤(1+√3)/2
所以①.②解集为
(-1+√7)/2<x<(1+√3)/2
综上实数x的取值范围是
(-1+√7)/2<x<(1+√3)/2

Answer 2

解：

这里可以“反客为主”，即构造变量m的函数求解：

2x-1>a(x2-1)即：(x^2 - 1)*a - (2x - 1) < 0

构造关于a的函数f(a) = (x^2 - 1)*a - (2x - 1)

1）当x^2 - 1 > 0时, 则f(2) < 0
从而 2x^2 - 2x - 1 < 0

解得： (1 - √3) / 2 < x < (1 + √3) / 2

又x^2 - 1 > 0,即x < -1 或 x > 1, 所以 1 < x < (1 + √3) / 2；

2）当x^2 - 1 < 0时, 则f(-2) < 0 => -2x^2 - 2x + 3 < 0
从而 2x^2 + 2x - 3 > 0

解得 x < (-1 - √7) /2 或x > (√7 - 1) / 2

又-1 < x < 1, 从而(√7 - 1) / 2 < x < 1

3）当x^2 - 1 = 0时, 则f(m) = 1 - 2x < 0 从而x > 1/2,故x = 1；

综上有：(√7 - 1)/2 < x < (1 + √3) / 2

Answer 3

解：a绝对值小于且等于2得到-2≤a≤2
当x^2-1=0时，即x=±1时，当x=-1时，-3＞0不成立，所以x=-1不满足题意，
当x=1时，不等式得到1＞0恒成立，所以x=1满足题意
当x^2-1＞0时，即x＞1或x＜-1时，2x-1>a(x^2-1)可以得到（2x-1）/（x^2-1)＞a，要使不等式恒成立，只有（2x-1）/（x^2-1)＞2，解得（1-根号3）/2＜x＜（1+根号3）/2，综合得到
1＜x＜（1+根号3）/2；
当x^2-1＜0时，即-1＜x＜1时，2x-1>a(x^2-1)可以得到（2x-1）/（x^2-1)＜a，要使不等式恒成立，只有（2x-1）/（x^2-1)＜-2，解得x＜-（1+根号7）/2或x＞（-1+根号7）/2，综合得到
（-1+根号7）/2＜x＜1；
因此综上，可以得到（-1+根号7）/2＜x＜（1+根号3）/2