Question

线性空间是如何定义的?

Answer 1

线性空间必然是由两个集合，两种运算构成。
一个集合是向量集，另一个集合是数集（即考虑的数域）
讨论线性空间的维数，一定与考虑的数域有关。
复数域C作为向量集，如果看成复数域C上的线性空间，那么我们取向量ε=1≠0,则ε线性无关（单独1个非零向量一定是线性无关的），
于是，对任意的向量α∈向量集C，存在复数域的数α，使得
α=α×ε=α×1 (左边的α是向量，右边的α是复数域上的数）
即向量α可以由向量ε=1线性表示，
所以ε是线性空间C的一组基，从而dimC=1.
但若把线性空间C看成实数域R上的线性空间，那么我们取向量ε1=1，ε2=i∈向量集C,则ε1,ε2线性无关.
而对任意的向量α∈向量集C，存在实数域的数a,b，使得α=a×1+b×i
即向量α可以由向量ε1=1，ε2=i线性表示，
（注意，这里线性表示的系数，必须是实数a,b而不是复数）
所以ε1,ε2是线性空间C的一组基，从而dimC=2.